\documentclass[handout]{slide}



\renewcommand{\mytitle}{第十一章\quad 曲线积分与曲面积分}
\renewcommand{\mysubtitle}{第二节\quad 对坐标的曲线积分}
\graphicspath{{./images}}

\begin{document}



\section{对坐标的曲线积分的概念与性质}

\begin{frame}{变力沿曲线所做的功}

\begin{wrapfigure}{r}{.35\textwidth}
\includegraphics[max width=.35\textwidth]{2024_01_20_5cd341c5df1df7f4d312g-07}
\caption*{图 11-4}
\end{wrapfigure}

设一个质点在 $x O y$ 面内受到力
\[
\symbf{F}(x, y)=P(x, y) \symbf{i}+Q(x, y) \symbf{j}
\]
的作用， 从点 $A$ 沿光滑曲线弧 $L$ 移动到点 $B$, 其中函数 $P(x, y)$ 与 $Q(x, y)$ 在 $L$ 上连续。
\pause
要计算在上述移动过程中变力 $\symbf{F}(x, y)$ 所做的功 (图 11-4).

\pause
我们知道，如果力 $\symbf{F}$ 是恒力， 且质点从 $A$ 沿直线移动到 $B$, 那么恒力 $\symbf{F}$ 所做的功 $W$ 等于向量 $\symbf{F}$ 与向量 $\overrightarrow{A B}$ 的数量积， 即
\[
  W=\symbf{F} \cdot \overrightarrow{A B}.
\]
\pause
现在 $\symbf{F}(x, y)$ 是变力， 且质点沿曲线 $L$ 移动， 功 $W$ 不能直接按以上公式计算。
\pause
然而第一节中用来处理曲线
 形构件质量问题的方法， 原则上也适用于目前的问题。

 ~

 \pause
 先用曲线弧 $L$ 上的点 $M_{1}\left(x_{1}, y_{1}\right), M_{2}\left(x_{2}, y_{2}\right), \cdots, M_{n-1}\left(x_{n-1}, y_{n-1}\right)$ 把 $L$ 分成 $n$ 个小弧段，取其中一个有向小弧段 $\overparen{M_{i-1} M_{i}}$ 来分析： 
\pause
 由于 $\overparen{M_{i-1} M_{i}}$ 光滑而且很短， 可以用有向线段
 \[
 \overrightarrow{M_{i-1} M_{i}}=\left(\Delta x_{i}\right) \symbf{i}+\left(\Delta y_{i}\right) \symbf{j}
 \]
 来近似代替它， 其中 $\Delta x_{i}=x_{i}-x_{i-1}, \Delta y_{i}=y_{i}-y_{i-1}$. 
 \end{frame}


 \begin{frame}
又由于函数 $P(x, y)$ 与 $Q(x, y)$ 在 $L$ 上连续， 可以用 $\overparen{M_{i-1} M_{i}}$ 上任意取定的一点 $\left(\xi_{i}, \eta_{i}\right)$ 处的力
 \[
 \symbf{F}\left(\xi_{i}, \eta_{i}\right)=P\left(\xi_{i}, \eta_{i}\right) \symbf{i}+Q\left(\xi_{i}, \eta_{i}\right) \symbf{j}
 \]
 来近似代替这小弧段上各点处的力。 
\pause
 这样，变力 $F(x, y)$ 沿有向小弧段 $\overparen{M_{i-1} M_{i}}$ 所做的功 $\Delta W_{i}$ 可以认为近似地等于恒力 $\symbf{F}\left(\xi_{i}, \eta_{i}\right)$ 沿 $\overrightarrow{M_{i-1} M_{i}}$ 所做的功：
 \[
 \Delta W_{i} \approx \symbf{F}\left(\xi_{i}, \eta_{i}\right) \cdot \overrightarrow{M_{i-1} M_{i}},
 \]
 \pause
 即
 \[
 \Delta W_{i} \approx P\left(\xi_{i}, \eta_{i}\right) \Delta x_{i}+Q\left(\xi_{i}, \eta_{i}\right) \Delta y_{i} .
 \]
 \pause
 于是
 \[
 W=\sum_{i=1}^{n} \Delta W_{i} \approx \sum_{i=1}^{n}\left[P\left(\xi_{i}, \eta_{i}\right) \Delta x_{i}+Q\left(\xi_{i}, \eta_{i}\right) \Delta y_{i}\right] .
 \]


 \pause
 用 $\lambda$ 表示 $n$ 个小弧段的最大长度， 令 $\lambda \rightarrow 0$ 取上述和的极限， 所得到的极限自然地被认作变力 $\symbf{F}$ 沿有向曲线弧所做的功， 即
 \[
 W=\lim _{\lambda \rightarrow 0} \sum_{i=1}^{n}\left[P\left(\xi_{i}, \eta_{i}\right) \Delta x_{i}+Q\left(\xi_{i}, \eta_{i}\right) \Delta y_{i}\right]
 \]

 ~

 \pause
 这种和的极限在研究其他问题时也会遇到。 现在引进下面的定义：
 \end{frame}

 \begin{frame}
\begin{definition*}
设 $L$ 为 $x O y$ 面内从点 $A$ 到点 $B$ 的一条有向光滑曲线弧， 函数 $P(x, y)$ 与 $Q(x, y)$ 在 $L$ 上有界。
\pause
在 $L$ 上沿 $L$ 的方向任意插入一点列 $M_{1}\left(x_{1}, y_{1}\right), M_{2}\left(x_{2}, y_{2}\right), \cdots$, $M_{n-1}\left(x_{n-1}, y_{n-1}\right)$,
把 $L$ 分成 $n$ 个有向小弧段
\[
\overparen{M_{i-1} M_{i}} \quad\left(i=1,2, \cdots, n ; M_{0}=A, M_{n}=B\right) .
\]
\pause
设$\Delta x_i= x_i-x_{i-1}, \Delta y_i=y_i-y_{i-1}$, 点$(\xi_i, \eta_i)$为
$\overparen{M_{i-1}M_i}$上任意取定的点，作乘积 $P(\xi_i, \eta_i)\Delta x_i$ 
$(i=1,2, \cdots, n)$, 并作和 $\sum_{i=1}^{n} P\left(\xi_{i}, \eta_{i}\right) \Delta x_{i}$, 
\pause
如果当各小弧段长度的最大值 $\lambda \rightarrow 0$ 时， 这和的极限总存在， 且与曲线弧 $L$ 的分法及点 $\left(\xi_{i}, \eta_{i}\right)$ 的取法无关， 那么称此极限为函数 $P(x, y)$ 在有向曲线弧 $L$ 上\emph{对坐标 $x$ 的曲线积分}， 
\pause
记作 $\int_{L} P(x, y) \mathrm{d} x$. 
\pause
类似地， 如果 $\lim _{\lambda \rightarrow 0} \sum_{i=1}^{n} Q\left(\xi_{i}, \eta_{i}\right) \Delta y_{i}$ 总存在， 且与曲线弧 $L$ 的分法及点 $\left(\xi_{i}, \eta_{i}\right)$ 的取法无关， 那么称此极限为函数 $Q(x, y)$ 在有向曲线弧 $L$ 上\emph{对坐标 $y$ 的曲线积分}， 记作 $\int_{L} Q(x, y) \mathrm{d} y$. 
\pause
即
\[
  \begin{aligned}
    & \int_{L} P(x, y) \mathrm{d} x=\lim _{\lambda \rightarrow 0} \sum_{i=1}^{n} P\left(\xi_{i}, \eta_{i}\right) \Delta x_{i}, \\
  & \int_{L} Q(x, y) \mathrm{d} y=\lim _{\lambda \rightarrow 0} \sum_{i=1}^{n} Q\left(\xi_{i}, \eta_{i}\right) \Delta y_{i},
\end{aligned}
\]
\pause
其中 $P(x, y), Q(x, y)$ 叫做\emph{被积函数}， $L$ 叫做\emph{积分弧段}。
\end{definition*}
\pause
以上两个积分也称为\emph{第二类曲线积分}。
\end{frame}

\begin{frame}

在第二目中我们将看到， 当 $P(x, y)$ 与 $Q(x, y)$ 在有向光滑曲线弧 $L$ 上连续时， 对坐标的曲线积分 $\int_{L} P(x, y) \mathrm{d} x$ 及 $\int_{L} Q(x, y) \mathrm{d} y$ 都存在。 以后我们总设 $P(x, y)$ 与 $Q(x, y)$ 在 $L$上连续。

\pause

应用上经常出现的是
\[
  \int_{L} P(x, y) \mathrm{d} x+\int_{L} Q(x, y) \mathrm{d} y
\]
这种合并起来的形式，为简便起见，把上式写成
\[
\int_{L} P(x, y) \mathrm{d} x+Q(x, y) \mathrm{d} y,
\]
\pause
也可写成向量形式
\[
\int_{L} \symbf{F}(x, y) \cdot \mathrm{d} \symbf{r}
\]
其中 $\symbf{F}(x, y)=P(x, y) \symbf{i}+Q(x, y) \symbf{j}$ 为向量值函数， $\mathrm{d} \symbf{r}=\mathrm{d} x \symbf{i}+\mathrm{d} y \symbf{j}$.


\pause
例如， 本目开始时讨论过的变力 $\symbf{F}$ 所做的功可以表达成
\[
  W=\int_{L} P(x, y) \mathrm{d} x+Q(x, y) \mathrm{d} y,
\]
或
\[
  W=\int_{L} \symbf{F}(x, y) \cdot \mathrm{d} \symbf{r}.
\]

\end{frame}



\begin{frame}

上述定义可以类似地推广到积分弧段为空间有向曲线弧 $\Gamma$ 的情形：
\[
  \begin{aligned}
    \int_{\Gamma} P(x, y, z) \mathrm{d} x&= \lim _{\lambda \rightarrow 0} \sum_{i=1}^{n} P\left(\xi_{i}, \eta_{i}, \zeta_{i}\right) \Delta x_{i}, \\
  \int_{\Gamma} Q(x, y, z) \mathrm{d} y&= \lim _{\lambda \rightarrow 0} \sum_{i=1}^{n} Q\left(\xi_{i}, \eta_{i}, \zeta_{i}\right) \Delta y_{i}, \\
  \int_{\Gamma} R(x, y, z) \mathrm{d} z&= \lim _{\lambda \rightarrow 0} \sum_{i=1}^{n} R\left(\xi_{i}, \eta_{i}, \zeta_{i}\right) \Delta z_{i}.
\end{aligned}
\]


\pause
我们也把
\[
\int_{\Gamma} P(x, y, z) \mathrm{d} x+\int_{\Gamma} Q(x, y, z) \mathrm{d} y+\int_{\Gamma} R(x, y, z) \mathrm{d} z
\]
简写成
\[
\int_{\Gamma} P(x, y, z) \mathrm{d} x+Q(x, y, z) \mathrm{d} y+R(x, y, z) \mathrm{d} z,
\]
或
\[
\int_{\Gamma} \symbf{A}(x, y, z) \cdot \mathrm{d} \symbf{r},
\]
其中 $\symbf{A}(x, y, z)=P(x, y, z) \symbf{i}+Q(x, y, z) \symbf{j}+R(x, y, z) \symbf{k}, \mathrm{d} \symbf{r}=\mathrm{d} x \symbf{i}+\mathrm{d} y \symbf{j}+\mathrm{d} z \symbf{k}$.

\end{frame}

\iffalse
\begin{frame}

若$L$是平面上的简单闭曲线（即不自交的连续闭曲线），$L$的定向取成逆时针方向（这也是我们通常说$L$的正向）或顺时针方向时，
\[
  \int_{L} P(x, y) \mathrm{d} x+ Q(x, y) \mathrm{d} y
\]
也记为
\[
  \ointctrclockwise_{L} P(x, y) \mathrm{d} x+ Q(x, y) \mathrm{d} y\quad \text{或}\quad 
\varointclockwise_{L} P(x, y) \mathrm{d} x+ Q(x, y) \mathrm{d} y.
\]
\pause
类似地，我们有
\[
  \ointctrclockwise_{L} \symbf{F}(x, y) \cdot \mathrm{d} \symbf{r},\quad
  \varointclockwise_{L} \symbf{F}(x, y) \cdot \mathrm{d} \symbf{r}.
\]


~

%\pause
%若$\Gamma$是空间中的简单闭曲线，我们也有记号
%\begin{gather*}  
% \ointctrclockwise_{\Gamma} P(x, y, z) \mathrm{d} x+Q(x, y, z) \mathrm{d} y+R(x, y, z) \mathrm{d} z, \\
% \varointclockwise_{\Gamma} P(x, y, z) \mathrm{d} x+Q(x, y, z) \mathrm{d} y+R(x, y, z) \mathrm{d} z;\\
%\ointctrclockwise_{\Gamma} \symbf{A}(x, y, z) \cdot \mathrm{d} \symbf{r},\quad
% \varointclockwise_{\Gamma} \symbf{A}(x, y, z) \cdot \mathrm{d} \symbf{r}.
%\end{gather*}
%
\end{frame}
\fi

\begin{frame}
如果 $L$ （或 $\Gamma$） 是分段光滑的，我们规定函数在有向曲线弧 $L$ （或 $\Gamma$） 上对坐标的曲线积分等于在光滑的各段上对坐标的曲线积分之和。

\pause
根据上述曲线积分的定义，可以导出对坐标的曲线积分的一些性质。 
为了表达简便起见， 我们用向量形式表达， 并假定其中的向量值函数在曲线 $L$ 上连续%
\footnote{向量值函数 $\symbf{F}(x, y)$ 在曲线 $L$ 上连续是指： 对 $L$ 上任意点 $M_{0}\left(x_{0}, y_{0}\right)$, 当 $L$ 上的动点 $M(x, y)$ 沿 $L$ 趋于 $M_{0}$时， 有 $\left|\symbf{F}(x, y)-\symbf{F}\left(x_{0}, y_{0}\right)\right| \rightarrow 0$. 若 $\symbf{F}(x, y)=P(x, y) \symbf{i}+Q(x, y) \symbf{j}$, 则 $\symbf{F}(x, y)$ 在 $L$ 上连续等价于 $P(x, y)$ 与 $Q(x, y)$均在 $L$ 上连续。}。

\pause
\begin{proposition*}[性质 1]
  设 $\alpha$ 与 $\beta$ 为常数， 则
\[
\int_{L}\left[\alpha \symbf{F}_{1}(x, y)+\beta \symbf{F}_{2}(x, y)\right] \cdot \mathrm{d} \symbf{r}=\alpha \int_{L} \symbf{F}_{1}(x, y) \cdot \mathrm{d} \symbf{r}+\beta \int_{L} \symbf{F}_{2}(x, y) \cdot \mathrm{d} \symbf{r} .
\]
\end{proposition*}

\pause
\begin{proposition*}[性质 2]
  著有向曲线弧 $L$ 可分成两段光滑的有向曲线弧 $L_{1}$ 和 $L_{2}$, 则
\[
\int_{L} \symbf{F}(x, y) \cdot \mathrm{d} \symbf{r}=\int_{L_{1}} \symbf{F}(x, y) \cdot \mathrm{d} \symbf{r}+\int_{L_{2}} \symbf{F}(x, y) \cdot \mathrm{d} \symbf{r}
\]
\end{proposition*}
\end{frame}

\begin{frame}
  \begin{proposition*}[性质 3]
    设 $L$ 是有向光滑曲线弧， $L^{-}$是 $L$ 的反向曲线弧， 则
    \[
    \int_{L^{-}} \symbf{F}(x, y) \cdot \mathrm{d} \symbf{r}=-\int_{L} \symbf{F}(x, y) \cdot \mathrm{d} \symbf{r}
\]
\end{proposition*}

\pause
\begin{proof}
把 $L$ 分成 $n$ 小段，相应的 $L^{-}$也分成 $n$ 小段。对于每一个小弧段来说， 当曲线弧的方向改变时， 有向弧段在坐标轴上的投影， 其绝对值不变， 但要改变符号， 因此性质 3 成立。
\end{proof}
\pause
性质 3 表示， 当积分弧段的方向改变时， 对坐标的曲线积分要改变符号。 因此关于对坐标的曲线积分，我们必须注意积分弧段的方向。

\pause
这一性质是对坐标的曲线积分所特有的， 对弧长的曲线积分不具有这一性质。 而对弧长的曲线积分所具有的性质 3 ,对坐标的曲线积分也不具有类似的性质。
\end{frame}

\section{对坐标的曲线积分的计算法}

\begin{frame}
  \begin{theorem*}
  设 $P(x, y)$ 与 $Q(x, y)$ 在有向曲线弧 $L$ 上有定义且连续， $L$ 的参数方程为
  \[
    \left\{\begin{array}{l}
          x=\varphi(t) \\
          y=\psi(t)
    \end{array}\right.
\]
当参数 $t$ 单调地由 $\alpha$ 变到 $\beta$ 时， 点 $M(x, y)$ 从 $L$ 的起点 $A$ 沿 $L$ 运动到终点 $B$, 若 $\varphi(t)$ 与 $\psi(t)$ 在以 $\alpha$ 及 $\beta$ 为端点的闭区间上具有一阶连续导数， 且 $\varphi^{\prime 2}(t)+\psi^{\prime 2}(t) \neq 0$,则曲线积分 $\int_{L} P(x, y) \mathrm{d} x+Q(x, y) \mathrm{d} y$ 存在， 且
\[\tag{2-1}
  \begin{aligned}
    & \int_{L} P(x, y) \mathrm{d} x+Q(x, y) \mathrm{d} y \\
  = & \int_{\alpha}^{\beta}\left\{P[\varphi(t), \psi(t)] \varphi^{\prime}(t)+Q[\varphi(t), \psi(t)] \psi^{\prime}(t)\right\} \mathrm{d} t
\end{aligned}
\]
\end{theorem*}
\pause
\begin{proof}
在 $L$ 上取一点列
\[
A=M_{0}, M_{1}, M_{2}, \cdots, M_{n-1}, M_{n}=B
\]
它们对应于一列单调变化的参数值
\[
\alpha=t_{0}, t_{1}, t_{2}, \cdots, t_{n-1}, t_{n}=\beta .
\]
\end{proof}
\end{frame}

\begin{frame}
  \begin{proof}[续]

根据对坐标的曲线积分的定义， 有
\[
\int_{L} P(x, y) \mathrm{d} x=\lim _{\lambda \rightarrow 0} \sum_{i=1}^{n} P\left(\xi_{i}, \eta_{i}\right) \Delta x_{i}
\]
设点 $\left(\xi_{i}, \eta_{i}\right)$ 对应于参数值 $\tau_{i}$, 即 $\xi_{i}=\varphi\left(\tau_{i}\right), \eta_{i}=\psi\left(\tau_{i}\right)$, 这里 $\tau_{i}$ 在 $t_{i-1}$ 与 $t_{i}$ 之间。 由于
\[
\Delta x_{i}=x_{i}-x_{i-1}=\varphi\left(t_{i}\right)-\varphi\left(t_{i-1}\right),
\]
应用微分中值定理，有
\[
\Delta x_{i}=\varphi^{\prime}\left(\tau_{i}^{\prime}\right) \Delta t_{i},
\]
其中 $\Delta t_{i}=t_{i}-t_{i-1}, \tau_{i}^{\prime}$ 在 $t_{i-1}$ 与 $t_{i}$ 之间。 
  于是
  \[
  \int_{L} P(x, y) \mathrm{d} x=\lim _{\lambda \rightarrow 0} \sum_{i=1}^{n} P\left[\varphi\left(\tau_{i}\right), \psi\left(\tau_{i}\right)\right] \varphi^{\prime}\left(\tau_{i}^{\prime}\right) \Delta t_{i}
\]
因为函数 $\varphi^{\prime}(t)$ 在闭区间 $[\alpha, \beta]$ (或 $[\beta, \alpha]$ ) 上连续，我们可以把上式中的 $\tau_{i}^{\prime}$ 换成 $\tau_{i}$%
\footnote{它的证明要用到函数 $\varphi^{\prime}(t)$ 在闭区间上的一致连续性， 这里从略。}%
, 从而
\[
\int_{L} P(x, y) \mathrm{d} x=\lim _{\lambda \rightarrow 0} \sum_{i=1}^{n} P\left[\varphi\left(\tau_{i}\right), \psi\left(\tau_{i}\right)\right] \varphi^{\prime}\left(\tau_{i}\right) \Delta t_{i}
\]
\end{proof}
\end{frame}

\begin{frame}

  \begin{proof}[续]
    上式右端的和的极限就是定积分 $\int_{\alpha}^{\beta} P[\varphi(t), \psi(t)] \varphi^{\prime}(t) \mathrm{d} t$, 由于函数 $P[\varphi(t), \psi(t)] \varphi^{\prime}(t)$连续， 这个定积分是存在的， 因此上式左端的曲线积分 $\int_{L} P(x, y) \mathrm{d} x$ 也存在， 并且有
    \[
      \int_{L} P(x, y) \mathrm{d} x=\int_{\alpha}^{\beta} P[\varphi(t), \psi(t)] \varphi^{\prime}(t) \mathrm{d} t
    \]

~

同理可证
\[
\int_{L} Q(x, y) \mathrm{d} y=\int_{\alpha}^{\beta} Q[\varphi(t), \psi(t)] \psi^{\prime}(t) \mathrm{d} t
\]
把以上两式相加，得
\[
\int_{L} P(x, y) \mathrm{d} x+Q(x, y) \mathrm{d} y=\int_{\alpha}^{\beta}\left\{P[\varphi(t), \psi(t)] \varphi^{\prime}(t)+Q[\varphi(t), \psi(t)] \psi^{\prime}(t)\right\} \mathrm{d} t,
\]
这里下限 $\alpha$ 对应于 $L$ 的起点， 上限 $\beta$ 对应于 $L$ 的终点。
\end{proof}


\end{frame}

\begin{frame}

公式 (2-1) 表明，计算对坐标的曲线积分
\[
\int_{L} P(x, y) \mathrm{d} x+Q(x, y) \mathrm{d} y
\]
时， 只要把 $x, y, \mathrm{~d} x, \mathrm{~d} y$ 依次换为 $\varphi(t), \psi(t), \varphi^{\prime}(t) \mathrm{d} t, \psi^{\prime}(t) \mathrm{d} t$, 然后从 $L$ 的起点所对应的参数值 $\alpha$ 到 $L$ 的终点所对应的参数值 $\beta$ 作定积分就行了， 这里必须注意， \emph{下限 $\alpha$ 对应于 $L$ 的起点， 上限 $\beta$ 对应于 $L$ 的终点， $\alpha$ 不一定小于 $\beta$}.

~

\pause
如果 $L$ 由方程 $y=\psi(x)$ 或 $x=\varphi(y)$ 给出， 可以看做参数方程的特殊情形，
\pause
例如， 当 $L$ 由 $y=\psi(x)$ 给出时，公式 (2-1) 成为
\[
\int_{L} P(x, y) \mathrm{d} x+Q(x, y) \mathrm{d} y=\int_{a}^{b}\left\{P[x, \psi(x)]+Q[x, \psi(x)] \psi^{\prime}(x)\right\} \mathrm{d} x,
\]
这里下限 $a$ 对应 $L$ 的起点， 上限 $b$ 对应 $L$ 的终点。
\end{frame}

\begin{frame}


公式 (2-1) 可推广到空间曲线 $\Gamma$ 由参数方程
\[
x=\varphi(t), \quad y=\psi(t), \quad z=\omega(t)
\]
给出的情形， 这样便得到
\[
  \begin{aligned}
  & \int_{\Gamma} P(x, y, z) \mathrm{d} x+Q(x, y, z) \mathrm{d} y+R(x, y, z) \mathrm{d} z \\
= & \int_{\alpha}^{\beta}\left\{P[\varphi(t), \psi(t), \omega(t)] \varphi^{\prime}(t)+Q[\varphi(t), \psi(t), \omega(t)] \psi^{\prime}(t)+\right. \\
& \quad \left.R[\varphi(t), \psi(t), \omega(t)] \omega^{\prime}(t)\right\} \mathrm{d} t,
\end{aligned}
\]
这里下限 $\alpha$ 对应 $\Gamma$ 的起点， 上限 $\beta$ 对应 $\Gamma$ 的终点。
\end{frame}
\begin{frame}
  \begin{example}
  计算 $\displaystyle\int_{L} x y \mathrm{~d} x$, 其中 $L$ 为抛物线 $y^{2}=x$ 上从点 $A(1,-1)$ 到点 $B(1,1)$ 的一段弧 (图 11-5).
\end{example}
\pause
\begin{solution}
  \begin{wrapfigure}{r}{.2\textwidth}
      \centering
        \includegraphics[max width=.18\textwidth]{2024_01_20_5cd341c5df1df7f4d312g-12}
        \caption*{图 11-5}
        \pause
    \end{wrapfigure}
\fangfa{1} 将所给积分化为对 $x$ 的定积分来计算。由于 $y= \pm \sqrt{x}$ 不是单值函数， 
所以要把 $L$ 分为 $A O$ 和 $O B$ 两部分。 在 $A O$ 上， 
  $y=-\sqrt{x}, x$ 从 $1$ 变到 $0$; 在 $O B$ 上， $y=\sqrt{x}, x$ 从 $0$ 变到 $1$.
  因此
  \[
    \begin{aligned}
      \int_{L} x y \mathrm{~d} x & =\int_{A O} x y \mathrm{~d} x+\int_{O B} x y \mathrm{~d} x \\
    & =\int_{1}^{0} x(-\sqrt{x}) \mathrm{d} x+\int_{0}^{1} x \sqrt{x} \mathrm{~d} x\\
    &= 2 \int_{0}^{1} x^{\frac{3}{2}} \mathrm{~d} x=\frac{4}{5} .
\end{aligned}
\]

\fangfa{2} 将所给积分化为对 $y$ 的定积分来计算， 现在 $x=y^{2}, y$ 从$-1$ 变到 $1$. 因此
\[
\begin{aligned}
  \int_{L} x y \mathrm{~d} x= \int_{-1}^{1} y^{2} y\left(y^{2}\right)^{\prime} \mathrm{d} y=2 \int_{-1}^{1} y^{4} \mathrm{~d} y
= 2\left[\frac{y^{5}}{5}\right]_{-1}^{1}=\frac{4}{5} .
\end{aligned}
\]
\end{solution}
\end{frame}


\begin{frame}
  \onslide<1->
  \begin{example}
  计算 $\int_{L} y^{2} \mathrm{~d} x$ 其中 $L$ 为 (图 11-6) :

(1) 半径为 $a$ 、圆心为原点、按逆时针方向绕行的上半圆周;

(2) 从点 $A(a, 0)$ 沿 $x$ 轴到点 $B(-a, 0)$ 的直线段。
\end{example}


\begin{solution}
  \onslide<3->
(1) \mbox{$L$ 是参数方程
$x=a \cos \theta$,  $y=a \sin \theta$
($\theta\colon 0 \nearrow \pi$) 的曲线弧。 因此}\hfill \hfill
\begin{wrapfigure}{r}{.3\textwidth}
  \centering
  \onslide<2->
    \includegraphics[max width=.3\textwidth]{2024_01_20_5cd341c5df1df7f4d312g-12(1)}
  \caption*{图 11-6}
  \onslide<3->
\end{wrapfigure}
\vspace*{-1em}
\[
  \begin{aligned}
    \int_{L} y^{2} \mathrm{~d} x & =\int_{0}^{\pi} a^{2} \sin ^{2} \theta(-a \sin \theta) \mathrm{d} \theta=a^{3} \int_{0}^{\pi}\left(1-\cos ^{2} \theta\right) \mathrm{d}(\cos \theta) \\
  & =a^{3}\left[\cos \theta-\frac{\cos ^{3} \theta}{3}\right]_{0}^{\pi}=-\frac{4}{3} a^{3} .
\end{aligned}
\]

\onslide<4->
(2) $L$ 的方程为 $y=0$ ($x\colon a\searrow -a$). 所以
$\displaystyle
\int_{L} y^{2} \mathrm{~d} x=\int_{a}^{-a} 0 \mathrm{~d} x=0.
$
\end{solution}

\onslide<5->
\begin{remark*}
从例 2 看出， 虽然两个曲线积分的被积函数相同， 起点和终点也相同， 但沿不同路径得出的积分值并不相等。
\end{remark*}
\end{frame}

\begin{frame}
  \begin{example}
计算 $\displaystyle\int_{L} 2 x y \mathrm{~d} x+x^{2} \mathrm{~d} y$, 其中 $L$ 为 (图 11-7):

（1）抛物线 $y=x^{2}$ 上从 $O(0,0)$ 到 $B(1,1)$ 的一段弧;

(2) 抛物线 $x=y^{2}$ 上从 $O(0,0)$ 到 $B(1,1)$ 的一段弧;

(3) 有向折线 $O A B$, 这里 $O, A, B$ 依次是点 $(0,0)$, $(1,0)$, $(1,1)$.
\end{example}

\pause
\begin{solution}
    \begin{wrapfigure}{r}{.3\textwidth}
      \centering
    \includegraphics[max width=.3\textwidth]{2024_01_20_5cd341c5df1df7f4d312g-13}
  \caption*{图 11-7}
  \pause
\end{wrapfigure}

(1) 化为对 $x$ 的定积分。 $L: y=x^{2}$ ($x\colon 0\nearrow 1$). 所以
\[
\begin{aligned}
  \int_{L} 2 x y \mathrm{~d} x+x^{2} \mathrm{~d} y&= \int_{0}^{1}\left(2 x \cdot x^{2}+x^{2} \cdot 2 x\right) \mathrm{d} x\\
  &= 4 \int_{0}^{1} x^{3} \mathrm{~d} x=1 .
\end{aligned}
\]

(2) 化为对 $y$ 的定积分。 $L: x=y^{2}$ ($y\colon 0\nearrow 1$). 所以
\[
\begin{aligned}
  \int_{L} 2 x y \mathrm{~d} x+x^{2} \mathrm{~d} y&= \int_{0}^{1}\left(2 y^{2} \cdot y \cdot 2 y+y^{4}\right) \mathrm{d} y\\
  &= 5 \int_{0}^{1} y^{4} \mathrm{~d} y=1 .
\end{aligned}
\]
\end{solution}
\end{frame}

\begin{frame}
  \begin{solution}[续]
(3) $\int_{L} 2 x y \mathrm{~d} x+x^{2} \mathrm{~d} y=\int_{O A} 2 x y \mathrm{~d} x+x^{2} \mathrm{~d} y+\int_{A B} 2 x y \mathrm{~d} x+x^{2} \mathrm{~d} y$,
在 $O A$ 上， $y=0$, $x\colon 0\nearrow 1$,所以
\[
\int_{O A} 2 x y \mathrm{~d} x+x^{2} \mathrm{~d} y=\int_{0}^{1}\left(2 x \cdot 0+x^{2} \cdot 0\right) \mathrm{d} x=0 .
\]
在 $A B$ 上， $x=1$, $y\colon 0\nearrow 1$,所以
\[
\int_{A B} 2 x y \mathrm{~d} x+x^{2} \mathrm{~d} y=\int_{0}^{1}(2 y \cdot 0+1) \mathrm{d} y=1 .
\]
从而
\[
\int_{L} 2 x y \mathrm{~d} x+x^{2} \mathrm{~d} y=0+1=1 .
\]
\end{solution}
\pause
\begin{remark*}
从例 3 可以看出， 虽然沿不同路径， 曲线积分的值可以相等。
\end{remark*}

\end{frame}

\begin{frame}
  \begin{example}
  计算 $\displaystyle\int_{\Gamma} x^{3} \mathrm{~d} x+3 z y^{2} \mathrm{~d} y-x^{2} y \mathrm{~d} z$, 其中 $\Gamma$ 是从点 $A(3,2,1)$ 到点 $B(0,0,0)$ 的直线段 $A B$.
\end{example}
\pause
\begin{solution}
直线段 $A B$ 的方程是
\[
\frac{x}{3}=\frac{y}{2}=\frac{z}{1}
\]
化为参数方程得
\[
x=3 t, y=2 t, z=t, \quad t\colon 1 \searrow 0.
\]
所以
\[
  \begin{aligned}
    & \int_{\Gamma} x^{3} \mathrm{~d} x+3 z y^{2} \mathrm{~d} y-x^{2} y \mathrm{~d} z \\
  = & \int_{1}^{0}\left[(3 t)^{3} \cdot 3+3 t(2 t)^{2} \cdot 2-(3 t)^{2} \cdot 2 t\right] \mathrm{d} t=87 \int_{1}^{0} t^{3} \mathrm{~d} t=-\frac{87}{4} .
\end{aligned}
\]
\end{solution}
\end{frame}


\begin{frame}
  \begin{example}
  设一个质点在点 $M(x, y)$ 处受到力 $\symbf{F}$ 的作用， $\symbf{F}$ 的大小与点 $M$ 到原点 $O$ 的距离成正比， $F$ 的方向恒指向原点。 此质点由点 $A(a, 0)$ 沿椭圆 $\frac{x^{2}}{a^{2}}+\frac{y^{2}}{b^{2}}=1$ 按逆时针方向移动到点 $B(0, b)$, 求力 $\symbf{F}$ 所做的功 $W$.
\end{example}
\pause
\begin{solution}
  由假意可设 $\symbf{F}=-k(x \symbf{i}+ y \symbf{j})$, 其中 $k>0$. 
  此时$k=|\symbf{F}|/\overrightarrow{OM}$, 按假设此比例是常数，即$k$是常数。我们有
\[
  W=\int_{\overparen{A B}} \symbf{F} \cdot \mathrm{d} \symbf{r}=\int_{\overparen{A B}}-k x \mathrm{~d} x-k y \mathrm{~d} y=-k \int_{\overparen{A B}} x \mathrm{~d} x+y \mathrm{~d} y.
\]
利用椭圆的参数方程 $\left\{\begin{array}{l}x=a \cos t, \\ y=b \sin t,\end{array}\right.$ 起点 $A$ 、终点 $B$ 分别对应参数 $t=0, t=\frac{\pi}{2}$. 于是
\[
  \begin{aligned}
    W & =-k \int_{0}^{\frac{\pi}{2}}\left(-a^{2} \cos t \sin t+b^{2} \sin t \cos t\right) \mathrm{d} t \\
  & =k\left(a^{2}-b^{2}\right) \int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \sin t \cos t \mathrm{~d} t=\frac{k}{2}\left(a^{2}-b^{2}\right) .
\end{aligned}
\]
\end{solution}
\end{frame}


\section{两类曲线积分之间的联系}
\begin{frame}{两类曲线积分之间的联系}
设有向曲线弧 $L$ 的起点为 $A$, 终点为 $B$. 曲线弧 $L$ 由参数方程
\[
  \left\{\begin{array}{l}
    x=\varphi(t) \\
  y=\psi(t)
\end{array}\right.
\]
给出， 起点 $A$ 与终点 $B$ 分别对应参数 $\alpha$ 与 $\beta$. 不妨设 $\alpha<\beta$ (若 $\alpha>\beta$, 可令 $s=-t, A, B$ 对应 $s=-\alpha, s=-\beta$, 就有 $(-\alpha)<(-\beta)$, 把下面的讨论对参数 $s$ 进行即可), 并设函数 $\varphi(t)$ 与 $\psi(t)$ 在闭区间 $[\alpha, \beta]$ 上具有一阶连续导数， 且 $\varphi^{\prime 2}(t)+\psi^{\prime 2}(t) \neq 0$, 又函数 $P(x, y)$ 与 $Q(x, y)$ 在 $L$ 上连续。 于是， 由对坐标的曲线积分计算公式 (2-1) 有
\[
\int_{L} P(x, y) \mathrm{d} x+Q(x, y) \mathrm{d} y=\int_{\alpha}^{\beta}\left\{P[\varphi(t), \psi(t)] \varphi^{\prime}(t)+Q[\varphi(t), \psi(t)] \psi^{\prime}(t)\right\} \mathrm{d} t
\]

~

我们知道， 向量 $\symbf{\tau}=\varphi^{\prime}(t) \symbf{i}+\psi^{\prime}(t) \symbf{j}$ 是曲线弧 $L$ 在点 $M(\varphi(t), \psi(t))$ 处的一个切向量， 它的方向与参数 $t$ 的增长方向一致，当 $\alpha<\beta$ 时， 这个方向就是有向曲线弧 $L$ 的方向。 以后，我们称这种方向与有向曲线弧的方向一致的切向量为\emph{有向曲线弧的切向量}。于是， 有向曲线弧 $L$ 的切向量为
\[
\symbf{\tau}=\varphi^{\prime}(t) \symbf{i}+\psi^{\prime}(t) \symbf{j},
\]
它的方向余弦为
\[
\cos \alpha=\frac{\varphi^{\prime}(t)}{\sqrt{\varphi^{\prime 2}(t)+\psi^{\prime 2}(t)}}, \quad \cos \beta=\frac{\psi^{\prime}(t)}{\sqrt{\varphi^{\prime 2}(t)+\psi^{\prime 2}(t)}} .
\]
\end{frame}

\begin{frame}

由对弧长的曲线积分的计算公式可得
\[
  \begin{aligned}
  & \int_{L}[P(x, y) \cos \alpha+Q(x, y) \cos \beta] \mathrm{d} s \\
= & \int_{\alpha}^{\beta}\left\{P[\varphi(t), \psi(t)] \frac{\varphi^{\prime}(t)}{\sqrt{\varphi^{\prime 2}(t)+\psi^{\prime 2}(t)}}+\right. \\
& \left.Q[\varphi(t), \psi(t)] \frac{\psi^{\prime}(t)}{\sqrt{\varphi^{\prime 2}(t)+\psi^{\prime 2}(t)}}\right\} \sqrt{\varphi^{\prime 2}(t)+\psi^{\prime 2}(t)} \mathrm{d} t \\
= & \int_{\alpha}^{\beta}\left\{P[\varphi(t), \psi(t)] \varphi^{\prime}(t)+Q[\varphi(t), \psi(t)] \psi^{\prime}(t)\right\} \mathrm{d} t .
\end{aligned}
\]
由此可见，平面曲线弧 $L$ 上的两类曲线积分之间有如下联系：
\[
\int_{L} P \mathrm{~d} x+Q \mathrm{~d} y=\int_{L}(P \cos \alpha+Q \cos \beta) \mathrm{d} s
\]
其中 $\alpha(x, y)$ 与 $\beta(x, y)$ 为有向曲线弧 $L$ 在点 $(x, y)$ 处的切向量的方向角。
\end{frame}
\begin{frame}
类似地可知，空间曲线弧 $\Gamma$ 上的两类曲线积分之间有如下联系：
\[
\int_{\Gamma} P \mathrm{~d} x+Q \mathrm{~d} y+R \mathrm{~d} z=\int_{\Gamma}(P \cos \alpha+Q \cos \beta+R \cos \gamma) \mathrm{d} s,
\]
其中 $\alpha(x, y, z), \beta(x, y, z), \gamma(x, y, z)$ 为有向曲线弧 $\Gamma$ 在点 $(x, y, z)$ 处的切向量的方向角。

两类曲线积分之间的联系也可用向量的形式表达。例如，空间曲线弧 $\Gamma$ 上的两类曲线积分之间的联系可写成如下形式：
\[
\int_{\Gamma} \symbf{A} \cdot \mathrm{d} \symbf{r}=\int_{\Gamma} \symbf{A} \cdot \symbf{\tau} \mathrm{d} s
\]
或
\[
\int_{\Gamma} \symbf{A} \cdot \mathrm{d} \symbf{r}=\int_{\Gamma} A_{\tau} \mathrm{d} s
\]
其中 $A=(P, Q, R), \symbf{\tau}=(\cos \alpha, \cos \beta, \cos \gamma)$ 为有向曲线弧 $\Gamma$ 在点 $(x, y, z)$ 处的单位切向量， $\mathrm{d} \symbf{r}=\symbf{\tau} \mathrm{d} s=(\mathrm{d} x, \mathrm{~d} y, \mathrm{~d} z)$, 称为\emph{有向曲线元}， $A_{\tau}$ 为向量 $\symbf{A}$ 在向量 $\symbf{\tau}$ 上的投影。
\end{frame}

\end{document}
